§ 1. Kontinuierliche Kräfte und Stofskräffce. 75

Offenbar beträgt die Arbeit, welche eine JcontinmerlicJie Kraft (X, Y, Z) an dem Masseirpunkte bei der Verrüekung (dx, dy. dz} leistet

(3) AJL = Xdx + Ydy + Zdg = (Xof + Yy + Z/) dt. In der That ist diese Gleichung" weiter nichts 9 als der analytische Ausdruck für unsere ursprüngliche Definition des Ktaftbegriffes.

Hier tragen wir für X, Y, Z die Werte aus Gleichung (1) ein, indem wir uns vorstellen, dafs (X, Yy Z) diejenige Kraft ist, welche die faktische Bewegung des Punktes von der Ruhe beginnend erzeugt hat. Dann lautet das Arbeitselement:

dA = m(af'x' -j- y"y + /V) dt.

Die Gesamtarbeit, welche eben die lobendige Kraft des Punktes ausmacht, folgt hieraus durch Integration nach der Zeit; wir erhalten so die genugsam bekannte Formel:

(4) r=fOs'H-'/2+*'2).

Die lebendige Kraft des Punktes ist hiernach durch den jeweiligen Bewegungszustand des Punktes allein bestimmt; sie ist unabhängig davon., wie wir uns diesen Zustand entstanden denken, in welcher

Weise wir also x'3 y'} 8 bez. X} Y, Z während der Erzeugung der Bewegung variieren lassen. Sie gilt daher insbesondere auch, wenn wir uns die Bewegung instantan durch den Impuls erzeugt denken, was wir jetzt thun wollen,

Nehmen wir unter dieser speziellen Voraussetzung die Berechnung der lebendigen Kraft noch einmal vor, so wird die Sache besonders anschaulich. Wir können uns zu dem Zwecke zunächst vorstellen, dafs eine Kraft (X, Y, Z) von konstantem sehr grofsen Betrage während eines sehr kleinen Intervalles A£ wirksam ist, so dafs die Geschwindigkeit (#', y'.f #') während dieses Intervalles yleichmäfsig anwächst. Aus unserem obigen Ausdruck für die Arbeit ergiebt sich dann, wenn wir die Wirkungsdauer der Kraft mit A£ bezeichnen:

dt Jt 4t.

.

T= j dA = xix'dt + YJy'dt -}- zfz'ät.

0 0 ü Ö

Zu Anfang des Intervalles A 2 ist die Geschwindigkeit des Punktes gleich Null, zum Schluß; ist sie" (x, y ,- /) geworden. Da sie überdies von ihrem Anfangs- zu ihrem Endwerte gleichmäfsig anwächst, so bekommen die vorstehenden Zeitintegrale der rechten Seite bez, die Werte ' /Atf. Wir haben also:

-~, «

2 a

-J (Xx' + Yy + Z i) A t.

•2